Boolean Matematiğinin Esası

Devre matematiğinin temeli, George Boole (1815 – 1864) tarafınndan 1847 ‘de mantığın, matematiksel analizi üzerine yazmış olduğu tez ile ortaya çıkmıştır. Ancak bu düşünce, 1938 ‘den sonra Bell laboratuvarı tarafından yapılan röleli devrelerle telefon işletmelerinde uygulama alanı bulabilmiştir. Daha sonra da elektronik devrelerinin temeli olmuştur. Boolean matematiği basit bir matematiktir. Yalnız anahtar devrelerde çok önemli rol oynar.

Bu matematik, bir fonksiyonun bulunması için, yüksek matematiğin kullanılmasında olduğu gibi, en iyi devreyi (en az elemana sahip devre) vermez. Matematiğin buradaki rolü, devreyi çizmeden sistem üzerinde oluşan anahtarlama işlemlerini gösterebilmesidir.

Böylece, bu matematik biraz pratik ile devre düzenlemesi yapanlar için iyi bir devre oluşturulmasında yardımcı olur.

Sonuç olarak bir devrenin analizinde, bu devre matematiği yardımıyla sonuca gidilebilir. Bu matematiğin değişken büyüklükleri, iki değerli olarak alınır. Doğru veya yanlış (1 veya 0) gibi.

Basit Tarifler

Değil (inverse) işlemi: Lojik -1 ‘in lojik 0 ‘a çevrilmesidir. A =
A ; A ‘nın bar ‘ı okunur.

Ve (and) işlemi:Ve işleminde iki boolean değişkeni vardır. A ve B çıkışı, (A.B) şeklinde yazılır. Tablo 1.1 ‘de görüldüğü gibi A ve B aynı anda 1 olduğunda çıkış 1 olur.

Veya (or) işlemi: Veya işleminde A ve B gibi iki boolean değişkeni vardır. (A+B) şeklinde yazılır. Tablo 1.2 ‘de görüldüğü gibi, A veya B ‘nin birisi 1 olduğunda çıkış da 1 olur.

A B A.B 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1		A B A+B 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1
Tablo 1.1 – Lojik Ve (and) işlemi		Tablo 1.2 – Lojik Veya (or) işlemi

Boolean Kuralları

Boolean matematiğinde kullanılan teoremleri (Tablo 1.4) işler duruma getirebilmek için tablo 1.3 ‘deki Boolean kurallarının bilinmesi gerekir.

Kurallar

A = 0 veya = 1 0.0 = 0 1+1 = 1 0+0 = 0 1.1 = 1 1.0 = 0.1 = 0 1+0 = 0+1 = 1

Tablo 1.3 – Boolean kuralları

Teorem	Teorem
T1: Commutative kanunu a) A+B = B+A b) A.B = B.A T2: Associative kanunu a) (A+B)+C = A+(B+C) b) (A.B).C = A.(B.C) T3: Distributive kanunu a) A.(B+C) = A.B+A.C b) A+(B.C) = (A+B).(A+C) T4: Identy kanunu a) A+A = A b) A.A = A T5: Negation kanunu a) () = b) () = A	T6: Redudance kanunu a) A+A.B = A b) A.(A+B) = A T7: a) 0+A = A b) 1.A = A c) 1+A = 1 d) 0.A = 0 T8: a) +A = 1 b) .A=0 T9: a) A+.B = A+B b) A.(+B) = A.B T10: Demorgen kanunu a) () = . b) () = +

Tablo 1.4 – Boolean matematiğinde kullanılan teoremler

Doğruluk Tablosu

Boolean teoremleri uygulanırken, girişteki değişkenlere göre çıkışların durumunu gösteren tablolar yapılır. Bunlara doğruluk tablosu denir. Doğruluk tabloları sayesinde hataları görme olasılığı olduğu gibi, bu kuralların devreler üzerinde uygulanışıda görülmüş olur.

Teorem 6(a) daki kanunu bir doğruluk tablosu ile gösterelim.

A	B	A.B	A+AB
0 0 1 1	0 1 0 1	0 0 0 1	0 0 1 1

Tablo 1.5 – A+A.B = A için doğruluk tablosu

Her bir teorem için doğruluk tablosu oluşturulabilir.

Mantık Matematiğinde İşlem Basitleştrilmesi

Çeşitli karmaşık işlemler tablo 1.4 ‘deki teoremlerden faydalanılarak basitleştrilebilir. Dolayısıyle aynı işlem bir çok kapı yerine daha az kapı kullanılarak gerçekleştrilmiş olur. Böylece devreler, hem daha ucuz hem de daha basit olarak imal edilebilir.

** A.(A.B+C) işlemini basitleştirelim

= A.A.B + A.C (T₃a)
= A.B + A.C (T₄b)
= A.(B+C) (T₃a)

** B.+.+A.B işlemini basitleştricek olursak.

= (+A).B+. (T₃a)
= 1.B+ . (T₈a)
= B+. (T₇a)
= B+ (T₉a)